Feynmanki

e-mail

facebook

Czym są fraktale?

W miasteczku, gdzie ceglane domki
Skrzypią okiennicami
Co rano ludzie jak stonki
Kłębią się ulicami.

 

Gdy przyszedł czas na śniadanie
Na rynku bez wahania
Tłum cały przy straganie
Słucha wychwalania.

 

„Myślicie, że to co sprzedaję
To nudne owoce, warzywa.
Tak wam się tylko wydaje.
Prawda się głębiej skrywa.

 

Przebierajcie w koszu z jabłkami,
Pieniędzy nie żałujcie na zdobycz.
Opiszcie ich krzywiznę równaniami,
Wgryźcie się w matematyki słodycz.

 

Śmiało, poczujcie palcami
Fakturę wzoru misternego.
To słonecznik dzieli się sekretami
Ciągu Fibonacciego.

 

Inne warzywo w potrzebie
Ciekawość największą rozpali.
Kalafiory szepczą do siebie
O tajemnicach fraktali.

Trzy cechy kalafiora
Czynią fraktal z niego.
Wyjawić je teraz pora,
A ty się wsłuchaj, kolego.

 

Bez względu na to jak mały
Fragment pod lupę weźmiemy,
Przypomina on fraktal cały.
Różnic nie dostrzeżemy.

 

Druga cecha jest z pierwszą
Nierozerwalnie związana.
Budowa fraktala jest jak głoszą
Nieskończenie skomplikowana.

 

Tę skomplikowaną strukturę,
Choć inaczej podpowie rozsądek,
Najprostsze działanie opisuje –
Fraktalami rządzi porządek.

 

Widzicie, że na moim straganie
Mieści się Wszechświat cały.
Kupcie kalafiora, drogie panie,
Spójrzcie jaki wspaniały.”

Kojarzycie może animacje, w których obraz ulega nieustannemu przybliżaniu czy powiększaniu, a kształty i wzory, które oglądacie co jakiś czas się powtarzają? Na tym mniej więcej polegają fraktale – nieważne pod jakim powiększeniem oglądamy fraktal, wygląda on bardzo podobnie. Przykład takiego sztucznie wytworzonego fraktala znajdziecie w animacji poniżej.

Ten konkretny, dość prosty fraktal nazywany jest trójkątem Sierpińskiego. Otrzymuje się go następująco:

  1. Rysujemy trójkąt równoboczny (wszystkie boki tej samej długości),
  2. Łączymy środki jego boków i wycinamy środkowy trójkąt.
  3. Dla każdego z pozostałych trójkątów powtarzamy punkt 2 i powtarzamy w nieskończoność dla kolejnych, nowych trójkątów:

Zobaczcie, jakie to niezwykłe: za pomocą kilku naprawdę prostych kroków powtarzanych wielokrotnie otrzymujemy strukturę, która jest niesamowicie skomplikowana. W tym przypadku, gdy weźmiemy mały fragment takiego fraktala to wygląda on dokładnie tak samo jak cały fraktal, tylko jest mniejszy. Nie wszystkie fraktale jednak mają tę właściwość. Wystarczy, że mały fragment fraktala będzie wyglądał podobnie i będzie podobnie skomplikowany co cały fraktal.

Zapytacie: po co nam takie twory, czy one do czegokolwiek się przydają? Przecież w codziennym życiu nie ma czasu na powtarzanie czegoś w nieskończoność. To prawda, ale w rzeczywistości możemy spotkać całą masę przedmiotów i zjawisk, które mają podobną właściwość – w dużym zakresie powiększeń wyglądają bardzo podobnie. Dzięki matematycznej idei fraktala możliwy jest łatwiejszy opis takich ogromnie skomplikowanych struktur z życia codziennego. Wyobraźcie skalisty brzeg morza, który na globusie wygląda na nierówny, poszarpany, ale jak przyjrzeć mu się pod lupą to wydaje się być gładki. Co jednak jeśli weźmiemy dokładniejszą mapę tego samego wybrzeża? Okaże się, że wcale nie jest taka gładka, i znowu pojawiają się nierówności. Takie powiększanie można powtarzać wielokrotnie. Na poziomie map, te wcięcia i wypukłości brzegu będą miały rozmiary na przykład dziesiątek kilometrów. Jak już pojedziemy nad ten brzeg, zobaczymy mniejsze zatoczki, złożone z nierównych kamieni, które to z kolei mają swoje własne nierówności. Chodzi właśnie o taką właśnie „chropowatość” na wielu różnych poziomach powiększenia. Może spróbujcie sami poszukać takich wzorów na mapach? (Jeśli nie macie w domu dobrego atlasu geograficznego, wystarczy na przykład strona maps.google.pl) Innym przykładem fraktali mogą być fale na morzu – te duże wysokie powiedzmy na kilka metrów wysokości mają na swojej powierzchni mniejsze falki, na których powierzchni znajdziemy jeszcze mniejsze nierówności i tak dalej. Dalej pokażemy kilka przykładów na zdjęciach. Pomyślcie na czym polega ich „fraktalowatość”, a potem może poszukajcie sami innych przykładów?

Mamy nadzieję, że wyjaśnienie pomoże Wam zrozumieć, czym są fraktale. Czekamy na dalsze ciekawe pytania!
Zespół Feynmanków

Podziel się ze znajomymi:

  • Categories:
  • Podziel się ze znajomymi: